آموزش انتگرال به همراه فرمولهای انتگرال

انتگرالها یک بحث اساسی ریاضیات عالی را تشکیل داده که میتوان کاربرد آنرا درتمام علوم طبیعی، انسانی وغیره مورد مطالعه قرارداد.

اولین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد. $int_{a}^{b} f(x), dx$ aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است. به ادامه مطلب رجوع کنید.

تابع اولیه

هر گاه معادله مشتق تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را تعیین کنیم این عمل را تابع اولیه می نامیم.

تعریف: تابع اولیه y = f(x)را تابعی مانند Y = F(x) + c می نامیم،هرگاه داشته باشیم:

cعدد ثابت (y = F(x) + c)’ = y = f(x)

انتگرال نامعین

تعریف:هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل راانتگرال نا معیین نامیده و آن را با نماد نمایش می دهند.

بنا به تعریف نمادرا انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانندF(x) + c در نظر میگیریم هر گاه داشته باشیم: با شرط: (F(x) + c)’ = f(x)

انتگرال معین

بنا به تعریف نمادرا انتگرال معین نامیده و حاصل آن را عددی به صورت زیر تعریف میکنیم: a

aوb را به ترتیب کرانهای بالا و پایین انتگرال مینامیم.

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته! انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال سه گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است.

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (۰,۱۰) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی f_x است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

بیشتر بخوانید مکمل حسابان ویرایش جدید

انتگرال گیری

انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.

۱٫f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌‌گیریم. ۲٫پاد مشتق f را پیدا می‌‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: ۳٫قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از :

انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
انتگرال گیری جزء به جزء :
انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌‌رود همچنین می‌‌توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می‌‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید.

انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی‌ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می‌‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌‌کند.

بیشتر بخوانید جزوه آموزشی انتگرال دوگانه

جدول کامل فرمول های انتگرال

Rules for integration of general functions

$int {f'(x) f(x)},dx= {1 over 2} [ f(x) ]^2 + C$

$int [f(x)]^n f'(x),dx = {[f(x)]^{n+1} over n+1} + C qquadmbox{(for } nneq -1mbox{)},!$

Rational functions

$int x^n,{rm d}x = frac{x^{n+1}}{n+1} + Cqquadmbox{ if }n ne -1$

$int {dx over {a^2+x^2}} = {1 over a}arctan {x over a} + C$

Irrational functions

$int {dx over sqrt{a^2-x^2}} = sin^{-1} {x over a} + C$

$int {-dx over sqrt{a^2-x^2}} = cos^{-1} {x over a} + C$

$int {dx over x sqrt{x^2-a^2}} = {1 over a} sec^{-1} {|x| over a} + C$

Logarithms

$int log_b {x},dx = xlog_b {x} - xlog_b {e} + C$

Exponential functions

$int a^x,dx = frac{a^x}{ln{a}} + C$

Trigonometric functions

$int sin^2 x , dx = frac{1}{2}(x - sin x cos x) + C$

$int cos^2 x , dx = frac{1}{2}(x + sin x cos x) + C$

$int sec^3 x , dx = frac{1}{2}sec x tan x + frac{1}{2}ln|sec x + tan x| + C$

$int sin^n x , dx = - frac{sin^{n-1} {x} cos {x}}{n} + frac{n-1}{n} int sin^{n-2}{x} , dx$ $int cos^n x , dx = frac{cos^{n-1} {x} sin {x}}{n} + frac{n-1}{n} int cos^{n-2}{x} , dx$ $int arctan{x} , dx = x , arctan{x} - frac{1}{2} ln{left| 1 + x^2right|} + C$ Hyperbolic functions

$int mbox{sech}^2 x, dx = tanh x + C$

Inverse hyperbolic functions

$int operatorname{arcsinh} x , dx = x operatorname{arcsinh} x - sqrt{x^2+1} + C$

$int operatorname{arccosh} x , dx = x operatorname{arccosh} x - sqrt{x^2-1} + C$

$int operatorname{arctanh} x , dx = x operatorname{arctanh} x + frac{1}{2}log{(1-x^2)} + C$

$int operatorname{arccsch},x , dx = x operatorname{arccsch} x+ log{left[xleft(sqrt{1+frac{1}{x^2}} + 1right)right]} + C$

$int operatorname{arcsech},x , dx = x operatorname{arcsech} x- arctan{left(frac{x}{x-1}sqrt{frac{1-x}{1+x}}right)} + C$

$int operatorname{arccoth},x , dx = x operatorname{arccoth} x+ frac{1}{2}log{(x^2-1)} + C$

Definite integrals lacking closed-form antiderivatives

$int_0^infty{sqrt{x},e^{-x},dx} = frac{1}{2}sqrt pi$

$int_0^infty{e^{-x^2},dx} = frac{1}{2}sqrt pi$

$int_0^infty{frac{x}{e^x-1},dx} = frac{pi^2}{6}$

$int_0^infty{frac{x^3}{e^x-1},dx} = frac{pi^4}{15}$

$int_0^inftyfrac{sin(x)}{x},dx=frac{pi}{2}$

$int_0^frac{pi}{2}sin^n{x},dx=int_0^frac{pi}{2}cos^n{x},dx=frac{1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (n-1)}{2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot n}frac{pi}{2}$ (if n is an even integer and )

$int_0^frac{pi}{2}sin^n{x},dx=int_0^frac{pi}{2}cos^n{x},dx=frac{2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot (n-1)}{3 cdot 5 cdot 7 cdot cdots cdot n}$ (if is an odd integer and )

$int_0^inftyfrac{sin^2{x}}{x^2},dx=frac{pi}{2}$

$int_0^infty x^{z-1},e^{-x},dx = Gamma(z)$

$int_{-infty}^infty e^{-(ax^2+bx+c)},dx=sqrt{frac{pi}{a}}expleft[frac{b^2-4ac}{4a}right]$

$int_{0}^{2 pi} e^{x cos theta} d theta = 2 pi I_{0}(x)$

$int_{0}^{2 pi} e^{x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_{0} left(sqrt{x^2 + y^2}right)$

$int_{-infty}^{infty}{(1 + x^2/nu)^{-(nu + 1)/2}dx} = frac { sqrt{nu pi} Gamma(nu/2)} {Gamma((nu + 1)/2))},$ (۰,” />,

$int_a^b{f(x),dx} = (b - a) sumlimits_{n = 1}^infty {sumlimits_{m = 1}^{2^n - 1} {left( { - 1} right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + mleft( {b - a} right)2^{-n} )$

$begin{align} int_0^1 x^{-x},dx &= sum_{n=1}^infty n^{-n} &&(= 1.291285997dots) int_0^1 x^x ,dx &= sum_{n=1}^infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712dots) end{align}$

فیلم آموزشی مرتبط – روی لینک زیر کلیک کنید

مجموعه فیلم‌های آموزشی ریاضیات و انتگرال (به زبان فارسی) – کلیک کنید

دریافت جزوه انتگرال دوگانه

توسط : leilaدر: سوم دبيرستان تجربی, کتاب درسی6 دیدگاه

مطالب مشابه

6 نظر

ali
دی ۴, ۱۳۹۱ در ۷:۱۸ ق.ظ
سلام و باعرض تشکر من دانش آموز پایه ی اول دبیرستان هستم و می خواهم این مبحث را زود تر یاد بگیرم لطفا به من کتاب یا جزوه یا راه حلی معرفی کنید و یا خودتوت این مباحث رو برام توضیح بدین.
پاسخ
1. leila
  دی ۴, ۱۳۹۱ در ۶:۴۴ ب.ظ
  به این صفحه مراجعه کنید سوالی در مورد انتگرال داشین بپرسید تا توضیح و حل بشه
  http://dlbook.net/?p=11977
  پاسخ
mohsen
آذر ۸, ۱۳۹۱ در ۹:۲۵ ق.ظ
خیلی ممنون از سایت خوبتون
پاسخ
ali
اردیبهشت ۱۷, ۱۳۹۱ در ۱۱:۴۷ ق.ظ
سلام ممنون ازت
پاسخ
بهمن
اسفند ۲۰, ۱۳۹۰ در ۶:۳۴ ق.ظ
ممنونم از سايت خوبتون جزوه آموزش رياضي عمومي 1 رو لازم دارم اگه ممكنه ممنونم
پاسخ
1. leila
  اسفند ۲۲, ۱۳۹۰ در ۹:۱۱ ب.ظ
  گرامی دبیرستانی یا دانشگاهی
  پاسخ

جزوه عربی کنکور به همراه نکات کنکوری

مفهوم مشتق

مطالب مشابه

6 نظر

ali

leila

mohsen

ali

بهمن

leila

پاسخ دهید لغو پاسخ

کتب دانشگاهی

نوشته های تازه

برنامه نویسی

آموزش انتگرال به همراه فرمولهای انتگرال

مجموعه فیلم‌های آموزشی ریاضیات و انتگرال (به زبان فارسی) – کلیک کنید

جزوه عربی کنکور به همراه نکات کنکوری

مفهوم مشتق

مطالب مشابه

کتاب طلایی آزمایش های شیمی

نمونه سوالات درس به درس زبان انگلیسی متوسطه

دانلود دفتر تمرین ریاضی

6 نظر

ali

leila

mohsen

ali

بهمن

leila

پاسخ دهید لغو پاسخ

کتب دانشگاهی

نوشته های تازه

برنامه نویسی